MECÂNICA QUÂNTICA
Prof. Alberto Ricardo Präss
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Algumas noções sobre o formalismo quântico
Duas das noções mais importantes nas teorias físicas são as de estado e de grandeza física. Estados descrevem a condição fundamental de um sistema físico; grandezas físicas são suas propriedades mensuráveis.
Na mecânica clássica, o estado de uma partícula de massa \(m\) é representado por:
\[ (x, y, z, p_x, p_y, p_z) \equiv (\mathbf{r}, \mathbf{p}). \]
As grandezas físicas são funções desses valores:
\[ A = f(\mathbf{r}, \mathbf{p}), \]
como posição \(\mathbf{r}\), momento \(\mathbf{p}\), energia cinética \(p^2/2m\) e energia potencial \(kx^2/2\).
A evolução temporal é dada pela segunda lei de Newton:
\[ \mathbf{F} = m\mathbf{a}, \]
um processo determinista.
Estados quânticos
Na Mecânica Quântica, os estados são representados por funções de onda:
\[ \Psi(\mathbf{r}, t) \quad \text{ou} \quad \Psi(\mathbf{p}, t), \]
que pertencem a um espaço de Hilbert. Assim, um estado quântico é um vetor \( |\psi\rangle \) em um espaço de Hilbert.
Grandezas físicas quânticas
As grandezas físicas são representadas por operadores:
\[ |\psi'\rangle = \hat{A}|\psi\rangle. \]
Um exemplo fundamental é o operador momento:
\[ \hat{P} = -i\hbar\,\frac{\partial}{\partial x}. \]
Autovalores e autoestados
A MQ atribui um valor definido a uma grandeza \(A\) apenas quando:
\[ \hat{A}|\psi\rangle = a|\psi\rangle. \]
Nesse caso, \(a\) é o autovalor e \( |\psi\rangle \) é o autoestado.
Os autovalores formam o espectro da grandeza, que pode ser contínuo ou discreto (quantizado).
Quando \( |\psi\rangle \) não é autoestado, ainda assim uma medida produz um valor definido. Isso leva a duas interpretações:
- A descrição quântica é incompleta.
- Os valores não existem antes da medida; a medida os “cria”.
Probabilidades quânticas — Regra de Born
A probabilidade de encontrar uma partícula entre \(x\) e \(x+dx\) é:
\[ |\Psi(x)|^2\,dx. \]
O produto escalar entre duas funções de onda é:
\[ (\psi, f) = \int \psi^*(x)\,f(x)\,dx. \]
O valor médio de uma grandeza \(A\) no estado \(\psi\) é:
\[ \langle A\rangle_\psi = (\psi, \hat{A}\psi). \]
A probabilidade de obter o autovalor \(a\) é:
\[ \text{prob}_\psi^A(a) = (\psi, P_a\psi), \]
onde \(P_a\) é o operador de projeção associado a \(a\).
Evolução temporal — Equação de Schrödinger
A evolução temporal dos estados quânticos é dada por:
\[ i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat{H}\Psi, \]
onde \(\hat{H}\) é o Hamiltoniano.
Para um potencial escalar \(V\):
\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V. \]
Essa evolução é determinista. Mas o processo de medida não é descrito por essa equação: ocorre o colapso da função de onda.
Esse fenômeno leva ao famoso paradoxo do gato de Schrödinger.
Leituras recomendadas
- Cohen-Tannoudji — Mécanique Quantique
- Ballentine — Quantum Mechanics
- D’Espagnat — Le Réel Voilé
- Jammer — The Conceptual Development of Quantum Mechanics
- Pais — Subtle is the Lord
- Chibeni — artigos sobre fundamentos e interpretação
- Pessoa Jr. — estudos sobre o problema da medida
(c) Silvio Seno Chibeni
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Notas do Prof. Afrânio Rodrigues Pereira (UFV)