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PROBLEMAS RESOLVIDOS /

CINEMÁTICA / PROBLEMA #16




Dois móveis em MRU partem simultaneamente dos pontos A e B em sentidos contrários e se encontram pela primeira vez a 720m de A, a velocidade do que parte do ponto A é \( \text{v}_{\text{A}} \) e a velocidade do que parte do ponto B é \( \text{v}_{\text{B}} \). Cada móvel ao chegar ao ponto oposto ao da partida para por 10 minutos e retornam. O segundo ponto de encontro está situado a 400m do ponto B. Pede-se a distancia (D) entre os pontos A e B.

RESOLUÇÃO

Para o primeiro encontro teremos:

 

$$ \begin{align} \text{Com os dados} = \cases{ \text{x}^{o}_{\text{A}} = 0& \\ & \\ \text{x}^{o}_{\text{B}} = D & \\ & \\ \text{x}_{\text{A}} = \text{x}_{\text{B}} = 720 & \\ } \end{align} $$ $$ \begin{align} \cases{ \text{x}_{\text{A}} = \text{x}^{o}_{\text{A}}+ \text{v}_{\text{A}}.\unicode[Garamond]{x2206}\text{t}_{\text{A}} &\\ \text{x}_{\text{B}} = \text{x}^{o}_{\text{B}}+ \text{v}_{\text{B}}.\unicode[Garamond]{x2206}\text{t}_{\text{B}} &\\ } \\ \to \cases{ 720 = 0 + \text{v}_{\text{A}}.\text{t} &\\ 720 = D - \text{v}_{\text{B}}.\text{t} &\\ } \end{align} $$

Para o segundo encontro teremos: $$ \begin{align} \text{Com os dados} = \cases{ \text{x}^{o}_{\text{A}} = D& \\ & \\ \text{x}^{o}_{\text{B}} = 0 & \\ & \\ \text{x}_{\text{A}} = \text{x}_{\text{B}} = 400 & \\ } \end{align} $$ $$ \begin{align} \cases{ \text{x}_{\text{A}} = \text{x}^{o}_{\text{A}}+ \text{v}_{\text{A}}.\unicode[Garamond]{x2206}\text{t}_{\text{A}} &\\ \text{x}_{\text{B}} = \text{x}^{o}_{\text{B}}+ \text{v}_{\text{B}}.\unicode[Garamond]{x2206}\text{t}_{\text{B}} &\\ } \\ \to \cases{ 400 = D - \text{v}_{\text{A}}.\text{t} &\\ 400 = 0 + \text{v}_{\text{B}}.\text{t} &\\ } \end{align} $$

Como os dois móveis estão em MRU podemos assumir que os intervalos de encontro são iguais e iremos chamar de T:

\( \unicode[Garamond]{x2206}\text{t}_{\text{A}} = \unicode[Garamond]{x2206}\text{t}_{\text{B}} = T \)

Para que tudo fique mais claro, vamos reunir as quatro equações que formam um sistema:

$$ \begin{align} 720 &= 0 + \text{v}_{\text{A}}.T &(1)\\ 720 &= D - \text{v}_{\text{B}}.T &(2)\\ 400 &= D - \text{v}_{\text{A}}.\text{T} &(3)\\ 400 &= 0 + \text{v}_{\text{B}}.\text{T} &(4)\\ \end{align} $$

Para resolver o sistema existem diversos métodos, mas vamos adotar o método mais elementar.

Podemos somar (1) e (3):

$$ \begin{align} \text{+} \cases{ 720 = 0 + \text{v}_{\text{A}}.T &\\ 400 = D - \text{v}_{\text{A}}.T &\\ } \end{align} $$ $$ \begin{align} 720 + 400 &= 0 + D + \cancel{ \text{v}_{\text{A}}.T } - \cancel{ \text{v}_{\text{A}}.T } \\ 1120 &= D \\ \end{align} $$ $$ \begin{align} \bbox[5px,border:2px solid yellow] { \text{D} = 1120\text{km} \\ } \end{align} $$

Vamos testar a distância obtida substituindo nas equações.

$$ \begin{align} 720 &= 0 + \text{v}_{\text{A}}.T &(1)\\ 720 &= 1120 - \text{v}_{\text{B}}.T &(2)\\ 400 &= 1120 - \text{v}_{\text{A}}.\text{T} &(3)\\ 400 &= 0 + \text{v}_{\text{B}}.\text{T} &(4)\\ \end{align} $$ $$ \begin{align} 720 &= \text{v}_{\text{A}}.T &(1)\\ 400 &= \text{v}_{\text{B}}.T &(2)\\ 720 &= \text{v}_{\text{A}}.\text{T} &(3)\\ 400 &= \text{v}_{\text{B}}.\text{T} &(4)\\ \end{align} $$

Com isso confirmamos que \( D=1120\text{km} \) é o valor procurado, visto que (1)=(3) e (2)=(4).