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PROBLEMAS RESOLVIDOS /

CINEMÁTICA / PROBLEMA #17




Uma patrulha rodoviária  mede o tempo que cada veículo leva para percorrer um trecho de 400 m de estrada. Um automóvel percorre a primeira metade do trecho a 120km/h. Sendo de 80km/h a velocidade máxima permitida, qual deve ser a maior velocidade média do mesmo na segunda metade da estrada para evitar que seja multado?

RESOLUÇÃO

dada por:

$$\text{v}_\text{m}=\frac{\text{distância total percorrida}}{\text{intervalo total de tempo}}\\$$

Genericamente temos

$$ \bbox[5px,border:2px solid yellow] {\text{v}=\frac{\text{d}}{\text{t}} }\\$$

Para cada etapa do deslocamento podemos escrever que:

$$ \begin{align} \text{v}_{1}=\frac{\text{d}_{1} }{\text{t}_{1} } \Rightarrow \text{t}_{1}=\frac{\text{d}_{1} }{\text{v}_{1} }\\ \end{align} $$ $$ \begin{align} \text{v}_{2}=\frac{\text{d}_{2} }{\text{t}_{2} } \Rightarrow \text{t}_{2}=\frac{\text{d}_{2} }{\text{v}_{2} }\\ \end{align} $$

E assim chegamos a uma expressão da rapidez média no percurso em função das distâncias e velocidades em cada trecho:

\begin{align} \text{v}_\text{m}&=\frac {\text{d}_{1}+\text{d}_{2}}{\text{t}_{1}+\text{t}_{2}}\\ \\ \text{v}_\text{m}&=\frac {\text{d}_{1}+d_{2}}{ \frac{\text{d}_{1} }{\text{v}_{1} } + \frac{\text{d}_{2} }{\text{v}_{2} } }\\ \text{v}_\text{m}&=\frac {(\text{d}_{1}+\text{d}_{2})} {( \frac{\text{d}_{1} }{\text{v}_{1} } + \frac{\text{d}_{2} }{\text{v}_{2} } )}\\ \end{align} \begin{align} \bbox[5px,border:2px solid yellow] { \text{v}_\text{m}=\frac {(\text{d}_{1}+\text{d}_{2})} {( \frac {\text{v}_{2}\text{d}_{1}+\text{v}_{1}\text{d}_{2}} {\text{v}_{1}\text{v}_{2}} )} }\\ \end{align}

a)

Se as duas etapas da viagem tiverem a mesma distância, podemos chamar de "x" e simplificar a expressão obtida:

 

\begin{align} \text{d}_{1}=\text{d}_{2}=\text{x}\\ \end{align} \begin{align} \text{v}_\text{m}&=\frac {(\text{d}_{1}+\text{d}_{2})} {( \frac {\text{v}_{2}\text{d}_{1}+\text{v}_{1}\text{d}_{2}} {\text{v}_{1}\text{v}_{2}} )} \\ \text{v}_\text{m}&=\frac {(\text{x}+\text{x})} {( \frac {\text{v}_{2}\text{x}+\text{v}_{1}\text{x}} {\text{v}_{1}\text{v}_{2}} )} \\ \text{v}_\text{m}&=\frac {2\text{x}} {\text{x}( \frac {\text{v}_{2}+\text{v}_{1}} {\text{v}_{1}\text{v}_{2}} )} \\ \text{v}_\text{m}&=\frac {2} {( \frac {\text{v}_{2}+\text{v}_{1}} {\text{v}_{1}\text{v}_{2}} )} \\ \text{v}_\text{m}&=2 \left( \frac {\text{v}_{1}\text{v}_{2}} {\text{v}_{1}+\text{v}_{2} } \right) \\ \\ \end{align} Esta expressão pode ser guardada para uso em problemas semelhantes: \begin{align} \bbox[5px,border:2px solid yellow] { \text{v}_\text{m}=2 \left( \frac {\text{v}_{1}\text{v}_{2}} {\text{v}_{1}+\text{v}_{2} } \right) }\\ \end{align} $$ \begin{align} \text{Com os dados} = \cases{ \text{v}_\text{m}= \text{80km/h} & \\ \text{v}_{1}= \text{140km/h} & \\ \text{v}_{2}= ? & } \end{align} $$ \begin{align} 80 &=2 \left( \frac {140.\text{v}_{2}} {140+\text{v}_{2} } \right) \\ 40 &= \left( \frac {140.\text{v}_{2}} {140+\text{v}_{2} } \right) \\ 140+\text{v}_{2} &= \left( \frac {140.\text{v}_{2}} {40} \right) \\ 140+\text{v}_{2} &= \left( \frac {7.\text{v}_{2}} {2} \right) \\ 280+2.\text{v}_{2} &= 7.\text{v}_{2} \\ 280 &= 5.\text{v}_{2} \\ \text{v}_{2} &= \frac {280}{5} \\ \\ \end{align} \begin{align} \bbox[5px,border:2px solid yellow] { \text{v}_{2} = 56\frac{\text{km}}{\text{h}} }\\ \end{align}