Uma placa retangular é feita de um material cujo coeficiente de dilatação linear é \( \alpha \). Os lados da placa medem \( \text{x}_0 \) e \( \text{y}_0 \), à temperatura \( \text{T}_i \). Aumentando-se a temperatura para \( \text{T}_f \), os lados passam a medir \( \text{x} \) e \( \text{y} \). A variação de temperatura é:

\[ \Delta \text{T} = \text{T}_f - \text{T}_i \]

As relações de dilatação linear dos lados são:

\[ \begin{cases} \text{x} = \text{x}_0 (1 + \alpha\,\Delta \text{T}) \\ \text{y} = \text{y}_0 (1 + \alpha\,\Delta \text{T}) \end{cases} \]

Multiplicando as equações membro a membro:

\[ \text{x}\,\text{y} = \text{x}_0 \text{y}_0 (1 + \alpha\,\Delta \text{T})^2 \]

A área inicial e final são:

\[ \text{A}_0 = \text{x}_0 \text{y}_0 \qquad \text{A} = \text{x}\,\text{y} \]

Logo:

\[ \text{A} = \text{A}_0 (1 + \alpha\,\Delta \text{T})^2 \]

Expandindo o quadrado:

\[ (1 + \alpha\,\Delta \text{T})^2 = 1 + 2\alpha\,\Delta \text{T} + \alpha^2 \Delta \text{T}^2 \]

Como \( \alpha \sim 10^{-5} \) e \( \Delta \text{T} \lesssim 10^2 \), temos:

\[ 2\alpha\,\Delta \text{T} \approx 10^{-3} \qquad \alpha^2 \Delta \text{T}^2 \approx 10^{-6} \]

A parcela \( \alpha^2 \Delta \text{T}^2 \) é desprezível em face de \( 2\alpha\,\Delta \text{T} \). Assim, podemos aproximar:

\[ (1 + \alpha\,\Delta \text{T})^2 \approx 1 + 2\alpha\,\Delta \text{T} \]

Portanto:

\[ \text{A} = \text{A}_0 (1 + 2\alpha\,\Delta \text{T}) \]

Definindo o coeficiente de dilatação superficial:

\[ \beta = 2\alpha \]

Obtemos a forma final:

\[ \text{A} = \text{A}_0 (1 + \beta\,\Delta \text{T}) \]