Princípio de Stevin: Pressão em um Líquido

Constatação experimental da pressão no seio de um líquido

Varias experiências evidenciam a pressão suportada por ume superfície mergulhada no seio de um líquido em equilíbrio. Dentre elas citaremos apenas e experiência realizada com a cápsula manométrica . A cápsula manométrica consta essencialmente de uma caixa dotada de uma membrana elástica . A caixa é ligada a um tubo em forma de U por meio de um condutor flexível.

cápsula manométrica

Nos ramos do tubo em U colocamos um líquido colorido. Pelo desnível do liquido nos ramos do tubo analisamos a pressão exercida sobre a membrana elástica da capsula.

Inicialmente o líquido alcança o mesmo nível em ambos os ramos do tubo como se vê na figura. Isto se dá porque a pressão exercida na superfície livre do liquido contido no ramo esquerdo é a mesma pressão exercida sobre a superfície da membrana; esta pressão é a pressão atmosférica.

Se você introduzir e cápsula no seio de um líquido em equilíbrio contido num recipiente, notará que se estabelece um desnível nos ramos do tubo em U, fato que comprova a existência de uma força imposta pelo líquido na superfície de membrana, ou seja, comprova a existência de pressão que o líquido exerce sobre a membrana da cápsula A força exercida pelo líquido é perpendicular à superfície da membrana, pois caso contrário a componente tangencial dessa força arrastaria a cápsula, o que não ocorre na prática.

À medida que você aprofunda a cápsula no líquido o desnível no tubo em U aumenta, mostrando que a pressão exercida pelo líquido cresce com a profundidade.

Num mesmo ponto, no seio do líquido, você pode girar a capsula à vontade sem acarretar alteração no desnível nos ramos do tubo em U, significando este fato que a pressão independe da orientação da superfície da membrana elástica da cápsula.

A pressão exercida pelo líquido na membrana da cápsula a dita pressão hidrostática. Se à pressão hidrostática adicionarmos a pressão exercida pela atmosfera sobreposta ao líquido teremos a chamada pressão absoluta .

Do foi dito até o momento, você conclui que no seio de um líquido a uma dada profundidade a pressão é igual em todos os pontos. Em outras palavras se considerarmos um plano paralelo à superfície do líquido a pressão será a mesma em todos os pontos deste plano.

Dados agora dois pontos A e B, localizados em diferentes profundidades, no seio do líquido, qual será a diferença de pressão de um ponto para outro?

A resposta a essa pergunta á dada peio Principio de Stevin que passamos a enunciar.

Principio fundamental da Hidrostática (Princípio de Stevin)

"A diferença entre as pressões em dois pontos considerados no seio de um líquido em equilíbrio (pressão no ponto mais profundo e a pressão no ponto menos profundo) vale o produto da massa especifica do líquido pelo módulo da aceleração da gravidade do local onde é feita a observação, pela diferença entre as profundidades consideradas."

Princípio de Stevin

Simbolicamente: $$p_A - p_B = \mu \, g \, h$$

A partir do Teorema de Stevin podemos concluir :

è A pressão aumenta com a profundidade. Para pontos situados na superfície livre, a pressão correspondente é igual à exercida pelo gás ou ar sobre ela. Se a superfície livre estiver ao ar atmosférico, a pressão correspondente será a pressão atmosférica, $ p_{\text{atm}}$ .

Na figura abaixo tem-se o gráfico da pressão p em função da profundidade h.

gráfico da pressão p em função da profundidade h.

Pontos situados em um mesmo líquido e em uma mesma horizontal ficam submetidos à mesma pressão.
A superfície livre dos líquidos em equilíbrio é horizontal.

Exemplo:

Na figura abaixo temos um mergulhador estacionado a 10 m de profundidade. No mesmo nível em que se encontra existe uma gruta que encerra ar. Calcule a pressão a que se acham submetidos o mergulhador e o ar da gruta. Considere:
\[ \begin{flalign*} & \mu_{\text{água}} = 1000 \,\text{kg/m}^3 & \\ & g = 10 \,\text{m/s}^2 & \\ & p_{\text{atm}} = 10^5 \,\text{N/m}^2 & \end{flalign*} \] PROBLEMAS RESOLVIDOS

1. Um tambor lacrado é mantido sob a superfície do mar, conforme a figura.

Pode-se afirmar que a pressão da água na superfície externa é:

Tambor dentro da água.

(A) maior na base superior.

(B) maior na base inferior.

(D) a mesma nas bases inferiores e superior.

(E) a mesma em qualquer parte do cilíndro.

2. A pressão hidrostática é a força por unidade de área exercida por um líquido. No fundo de um recipiente contendo líquido, essa pressão depende:

(A) do formato do recipiente.

(B) somente da área do fundo do recipiente.

(D) da área do fundo e da altura da coluna líquida.

(E) somente da densidade do líquido.

3. A figura abaixo é de uma talha contendo água.

Tambor dentro da água.

A pressão da água exercida sobre a torneira, fechada, depende:

(A) do volume de água contido no recipiente.

(B) da massa de água contida no recipiente.

(D) da altura da superfície em relação ao fundo do recipiente.

(E) da altura da superfície da água em relação à torneira.

4. Um recipiente cilíndrico aberto contém um líquido de densidade d . A pressão P no interior do líquido pode ser representada em função da profundidade h. Essa pressão está representada no gráfico.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

5. Um reservatório cilíndrico está cheio de um líquido homogêneo. Considere zero a ordenada de qualquer ponto da base do cilindro e d_s a ordenada da superfície livre do líquido. Dos gráficos abaixo, o que melhor representa a relação entre p e d, sendo p a pressão num ponto de ordenada d, é:

(A)

(B)

(C)

(D)

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 1

Enunciado (reformulado): Um tambor metálico está lacrado e mantido sob a superfície do mar. A base superior está menos profunda e a base inferior está mais profunda. Onde a pressão da água é maior?

Ideia central: A pressão em um líquido aumenta com a profundidade.

1. Pressão hidrostática

A pressão a uma profundidade $h$ é:

$$ p(h) = p_{\text{atm}} +\mu g h $$

2. Comparação entre os pontos

Base superior:

$$ p_{\text{sup}} = p_{\text{atm}} +\mu g h_{\text{sup}} $$

Base inferior:

$$ p_{\text{inf}} = p_{\text{atm}} +\mu g h_{\text{inf}} $$

Como:

$$ h_{\text{inf}} > h_{\text{sup}} $$

então:

$$ p_{\text{inf}} > p_{\text{sup}} $$

3. Superfície lateral

A pressão varia ao longo da lateral:

$$ p_{\text{lateral}}(h) = p_{\text{atm}} +\mu g h $$

Logo, ela muda de ponto para ponto e não pode ser considerada “maior” em toda a lateral.

4. Análise das alternativas

(A) Maior na base superior — Falso

(B) Maior na base inferior — Verdadeiro

(D) Mesma nas duas bases — Falso

(E) Mesma em todo o cilindro — Falso

5. Conclusão

$$ \boxed{\text{A pressão é maior na base inferior.}} $$

Alternativa correta:

$$ \boxed{(B)} $$

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2

Enunciado: A pressão hidrostática é a força por unidade de área exercida por um líquido. No fundo de um recipiente contendo líquido, essa pressão depende de quais fatores?

Ideia central: Em um líquido em repouso, a pressão em um ponto depende da profundidade desse ponto e das propriedades do líquido, não do formato do recipiente.

1. Expressão da pressão hidrostática

Para um ponto no fundo do recipiente, a uma altura de coluna líquida $h$, a pressão é dada por:

$$ p = p_{\text{atm}} + \rho g h $$

onde:

$p_{\text{atm}}$ é a pressão atmosférica sobre a superfície livre do líquido;

$\rho$ é a densidade do líquido;

$g$ é a aceleração da gravidade;

$h$ é a altura da coluna de líquido acima do ponto considerado.

Se considerarmos apenas a pressão hidrostática (isto é, a parte devida ao líquido), temos:

$$ p_{\text{hidro}} = \rho g h $$

Note que essa expressão não depende:

– do formato do recipiente;

– da área do fundo;

– apenas da densidade, isoladamente.

Ela depende da altura da coluna de líquido $h$ e do peso específico

$$ \gamma = \mu g $$

Logo, podemos escrever:

$$ p_{\text{hidro}} = \gamma h $$

2. Analisando cada alternativa

(A) “do formato do recipiente”

A expressão $p_{\text{hidro}} = \mu g h$ não contém nenhuma informação sobre o formato do recipiente. Dois recipientes com formatos diferentes, mas com a mesma altura de líquido e o mesmo líquido, terão a mesma pressão no fundo. Portanto, essa alternativa é falsa.

(B) “somente da área do fundo do recipiente”

A área do fundo não aparece na fórmula da pressão. A área é relevante para a força (pois $F = p \cdot A$), mas não para a pressão em si. A pressão é força por unidade de área. Logo, essa alternativa é falsa.

Sabemos que:

$$ p_{\text{hidro}} = \gamma h $$

onde $\gamma = \mu g$ é o peso específicoaltura da coluna de líquidopeso específicoverdadeira.

(D) “da área do fundo e da altura da coluna líquida”

A área do fundo não entra na expressão da pressão, apenas na força. A pressão depende de $h$ e de $\gamma$, não da área. Portanto, essa alternativa é falsa.

(E) “somente da densidade do líquido”

A densidade $\mu$ é um dos fatores, mas a pressão também depende da altura da coluna $h$ e de $g$. Não é correto dizer que depende “somente” da densidade. Portanto, essa alternativa é falsa.

3. Conclusão

A pressão hidrostática no fundo de um recipiente depende da altura da coluna de líquidopeso específico do líquido

Logo, a alternativa correta é:

$$ \boxed{(C)} $$

da altura da coluna e do peso específico do líquido.

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 3

Enunciado: A pressão exercida pela água sobre a torneira fechada depende de quais fatores?

Ideia central: A pressão hidrostática depende apenas da profundidade do ponto considerado e das propriedades do líquido.

1. Pressão hidrostática

A pressão a uma profundidade $h$ é dada por:

$$ p = p_{\text{atm}} +\mu g h $$

Considerando apenas a parte causada pela água:

$$ p_{\text{hidro}} =\mu g h $$

2. Aplicando ao problema

A torneira está localizada em um ponto específico da parede lateral do recipiente. Assim, a pressão exercida pela água sobre ela depende da profundidade da torneira em relação à superfície da água:

$$ p_{\text{torneira}} =\mu g h_{\text{torneira}} $$

Logo, a pressão NÃO depende:

– do volume de água no recipiente;
– da massa de água;
– do diâmetro do orifício;
– da área do fundo.

Depende apenas da altura da superfície da água em relação à torneira.

3. Conclusão

$$ \boxed{(E)} $$

da altura da superfície da água em relação à torneira.

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 4

Enunciado: Um recipiente cilíndrico aberto contém um líquido de densidade d. A pressão P no interior do líquido pode ser representada em função da profundidade h. Qual gráfico representa corretamente essa relação?

1. Ideia central: Em um líquido em repouso, a pressão aumenta com a profundidade.

A expressão da pressão hidrostática é:

$$ P = P_{\text{atm}} + \rho g h $$

Se considerarmos apenas a parte causada pelo líquido (pressão manométrica):

$$ P_{\text{hidro}} = \rho g h $$

2. Analisando a expressão

A relação entre P e h é:

linear (pois h aparece elevado a 1);
crescente (quanto maior a profundidade, maior a pressão);
com coeficiente angular igual a $ \rho g $.

Portanto, o gráfico deve ser uma reta inclinada para cima, partindo de P = 0 quando h = 0 (no caso da pressão manométrica).

3. Comparando com as alternativas

(A) Reta decrescente — falso, pois a pressão não diminui com a profundidade.

(B) Curva crescente não linear — falso, pois a relação é linear.

(D) Curva crescente não linear — falso, mesma justificativa da alternativa B.

(E) Reta horizontal — falso, pois a pressão não é constante.

4. Conclusão

$$ \boxed{(C)} $$

gráfico linear crescente representando $ P = \mu g h $.

Resumo gráfico da pressão hidrostática

A pressão em um líquido aumenta linearmente com a profundidade.

Equação fundamental:

$$ P = P_{\text{atm}} + \rho g h $$

Pressão manométrica:

$$ P_{\text{hidro}} = \rho g h $$

Representação gráfica (pressão × profundidade):

P
│
│                ●  (P = ρ g h)
│             ●
│          ●
│       ●
│    ●
│ ●
└────────────────────────── h
          profundidade

Características do gráfico:

Reta crescente.
Inclinação igual a $ \rho g $.
Passa pela origem no caso da pressão manométrica.
Mostra que quanto maior a profundidade, maior a pressão.

Resumo final:

$$ \boxed{P \propto h} $$

RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 5

Enunciado: Um reservatório cilíndrico está cheio de um líquido homogêneo. Considere zero a ordenada de qualquer ponto da base do cilindro e $ d_s $ a ordenada da superfície livre do líquido. Qual gráfico melhor representa a relação entre a pressão $ p $ e a ordenada $ d $?

1. Interpretação da variável $ d $

A ordenada $ d $ é medida a partir da base do cilindro. Assim:

Na base: $ d = 0 $
Na superfície livre: $ d = d_s $

2. Pressão hidrostática

A pressão em um ponto a uma profundidade $ h $ abaixo da superfície é:

$$ p = p_{\text{atm}} +\mu g h $$

Mas aqui a variável é $ d $, medida de baixo para cima. Logo:

Profundidade do ponto:

$$ h = d_s - d $$

Substituindo na expressão da pressão:

$$ p = p_{\text{atm}} +\mu g (d_s - d) $$

Se considerarmos apenas a pressão manométrica:

$$ p_{\text{hidro}} =\mu g (d_s - d) $$

3. Analisando a expressão

A relação entre $ p $ e $ d $ é:

linear;
decrescente (pois quanto maior $ d $, menor a profundidade);
com intercepto máximo em $ d = 0 $ e valor zero em $ d = d_s $.

Portanto, o gráfico correto é uma reta decrescente.

4. Comparando com as alternativas

(A) Curva crescente — falso.

(B) Reta crescente — falso.

(D) Curva decrescente exponencial — falso, pois não é exponencial.

O correto seria uma reta decrescente, mas entre as opções dadas, a que mais se aproxima do comportamento real é:

$$ \boxed{(C)} $$

gráfico decrescente até zero, único compatível com a variação da pressão com a ordenada.

Mas fisicamente, o gráfico correto deveria ser uma reta decrescente.

HIDROSTÁTICA