Princípio de Arquimedes (EMPUXO) - HIDROSTÁTICA

Contam os livros que o sábio grego Arquimedes (282-212 AC) descobriu, enquanto tomava banho, que um corpo imerso na água se torna mais leve devido a uma força exercida pelo líquido sobre o corpo, vertical e para cima, que alivia o peso do corpo. Essa força, do líquido sobre o corpo, é denominada empuxo ($E$).

Portanto, num corpo que se encontra imerso em um líquido, agem duas forças: a força peso ($P$), devida à interação com o campo gravitacional terrestre, e a força de empuxo ($E$), devida à sua interação com o líquido.

Arquimedes

Arquimedes (282-212 AC). Inventor e matemático grego.

Quando um corpo está totalmente imerso em um líquido, podemos ter as seguintes condições:

Se ele permanece parado no ponto onde foi colocado, a intensidade da força de empuxo é igual à intensidade da força peso
($E = P$).
Se ele afundar, a intensidade da força de empuxo é menor do que a intensidade da força peso
($E < P$).
Se ele for levado para a superfície, a intensidade da força de empuxo é maior do que a intensidade da força peso
($E > P$).

Para saber qual das três situações irá ocorrer, devemos enunciar o princípio de Arquimedes:

Todo corpo mergulhado num fluido (líquido ou gás) sofre, por parte do fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.

Seja $V_f$ o volume de fluido deslocado pelo corpo. Então a massa do fluido deslocado é dada por:

$ m_f =\mu_f V_f $

A intensidade do empuxo é igual à do peso dessa massa deslocada:

$ E = m_f g =\mu_f V_f g $

Para corpos totalmente imersos, o volume de fluido deslocado é igual ao próprio volume do corpo. Neste caso, a intensidade do peso do corpo e do empuxo são dadas por:

$ P =\mu_c V_c g \quad \text{e} \quad E =\mu_f V_c g $

Comparando-se as duas expressões observamos que:

Se $\mu_c >\mu_f$, o corpo desce em movimento acelerado
($F_R = P - E$).
Se $\mu_c <\mu_f$, o corpo sobe em movimento acelerado
($F_R = E - P$).
Se $\mu_c =\mu_f$, o corpo encontra-se em equilíbrio.

Quando um corpo mais denso que um líquido é totalmente imerso nesse líquido, observamos que o valor do seu peso, dentro desse líquido, é aparentemente menor do que no ar. A diferença entre o valor do peso real e do peso aparente corresponde ao empuxo exercido pelo líquido:

$ P_{\text{aparente}} = P_{\text{real}} - E $

Exemplo:

Um objeto com massa de 10 kg e volume $ 0,002 \, \text{m}^3 $ é colocado totalmente dentro da água, cuja densidade é $ \mu = 1 \,\text{kg/L} $.

Objeto dentro da água.

Qual é o valor do peso do objeto?
Qual é a intensidade da força de empuxo que a água exerce no objeto?
Qual o valor do peso aparente do objeto?
Desprezando o atrito com a água, determine a aceleração do objeto.

(Use $ g = 10 \, \text{m/s}^2 $ .)

Resolução

Dados:
Massa do objeto ($m$): 10 kg
Volume do objeto ($V$): 0,002 m³
Densidade da água ($\mu$): 1 kg/L = 1000 kg/m³
Aceleração da gravidade ($g$): 10 m/s²

Item a)

O valor do peso do objeto é dado por:

$ P = m \cdot g $

Substituindo os valores:

$ P = 10 \, \text{kg} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 $

$ P = 100 \, \text{N} $

Portanto, o peso do objeto é 100 N.

Item b)

A intensidade da força de empuxo que a água exerce no objeto é dada por:

$ E =\mu \cdot V \cdot g $

Substituindo os valores:

$ E = 1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 0,002 \, \text{m}^3 \cdot 10 \, \text{m/s}^2 $

$ E = 20 \, \text{N} $

Portanto, a intensidade da força de empuxo é 20 N.

Item c)

O valor do peso aparente do objeto é dado por:

$ P_{\text{aparente}} = P - E $

Substituindo os valores:

$ P_{\text{aparente}} = 100 \, \text{N} - 20 \, \text{N} $

$ P_{\text{aparente}} = 80 \, \text{N} $

Portanto, o peso aparente do objeto é 80 N.

Item d)

Para determinar a aceleração do objeto, usamos a segunda lei de Newton:

$ F_{\text{resultante}} = m \cdot a $

A força resultante é a diferença entre o peso do objeto e a força de empuxo:

$ F_{\text{resultante}} = P - E $

Substituindo os valores:

$ F_{\text{resultante}} = 100 \, \text{N} - 20 \, \text{N} $

$ F_{\text{resultante}} = 80 \, \text{N} $

Agora, podemos determinar a aceleração:

$ a = \frac{F_{\text{resultante}}}{m} $

Substituindo os valores:

$ a = \frac{80 \, \text{N}}{10 \, \text{kg}} $

$ a = 8 \, \text{m/s}^2 $

Portanto, a aceleração do objeto é 8 m/s².

Flutuação

Princípio de Arquimedes (Empuxo)

Segundo os registros históricos, o sábio grego Arquimedes (282-212 AC) fez uma descoberta enquanto tomava banho: um corpo imerso na água aparenta ser mais leve devido a uma força exercida pelo líquido sobre o corpo, vertical e para cima, que alivia o peso do corpo. Essa força, do líquido sobre o corpo, é denominada empuxo ($E$).

Assim, em um corpo que se encontra imerso em um líquido, agem duas forças: a força peso ($P$), resultante da interação com o campo gravitacional terrestre, e a força de empuxo ($E$), causada pela interação com o líquido.

Quando um corpo está totalmente imerso em um líquido, podemos ter as seguintes condições:

Se ele permanece parado no ponto onde foi colocado, a intensidade da força de empuxo é igual à intensidade da força peso ($E = P$).
Se ele afundar, a intensidade da força de empuxo é menor do que a intensidade da força peso ($E < P$).
Se ele for levado para a superfície, a intensidade da força de empuxo é maior do que a intensidade da força peso ($E > P$).

Para determinar qual das três situações irá ocorrer, podemos enunciar o princípio de Arquimedes:

Todo corpo mergulhado em um fluido (líquido ou gás) sofre, por parte do fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.

Seja $V_f$ o volume de fluido deslocado pelo corpo. Então a massa do fluido deslocado é dada por:

$ m_f =\mu_f V_f $

A intensidade do empuxo é igual ao peso dessa massa deslocada:

$ E = m_f g =\mu_f V_f g $

Para corpos totalmente imersos, o volume de fluido deslocado é igual ao próprio volume do corpo. Nesse caso, a intensidade do peso do corpo e do empuxo são dadas por:

$ P =\mu_c V_c g \quad \text{e} \quad E =\mu_f V_c g $

Comparando-se as duas expressões, observamos que:

Se $\mu_c >\mu_f $, o corpo desce em movimento acelerado ($ F_R = P - E $).
Se $\mu_c <\mu_f $, o corpo sobe em movimento acelerado ($ F_R = E - P $).
Se $\mu_c =\mu_f $, o corpo encontra-se em equilíbrio.

$ P_{\text{aparente}} = P_{\text{real}} - E $

Para um corpo flutuando em um líquido, temos as condições a seguir.

1) Ele encontra-se em equilíbrio:

$$ E = P $$

2) O volume de líquido que ele desloca é menor do que o seu volume:

$$ V_{\text{deslocado}} < V_{\text{corpo}} $$

3) Sua densidade é menor do que a densidade do líquido:

$$ d_{\text{corpo}} < \mu_{\text{líquido}} $$

4) O valor do peso aparente do corpo é nulo:

$$ P_{\text{aparente}} = P - E = 0 $$

A relação entre os volumes imerso e total do corpo é dada por:

$$ E = P $$

$$ d_{\text{líquido}} \, V_{\text{imerso}} \, g = \mu_{\text{corpo}} \, V_{\text{corpo}} \, g $$

$$ \frac{V_{\text{imerso}}}{V_{\text{corpo}}} = \frac{\mu_{\text{corpo}}}{\mu_{\text{líquido}}} $$

Exemplo:

Um bloco de madeira, $\mu_c = 0,65 \, \text{g/cm}^3 $, com 20 cm de aresta, flutua na água $ \mu_{\text{água}}= 1,0 \, \text{g/cm}^3 $. Determine a altura do cubo que permanece dentro da água.

Objeto de madeira flutuando na água

Resolução

Para resolver esse problema, usamos o princípio de Arquimedes, que afirma que a força de empuxo é igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo.

Primeiro, calculamos o volume do cubo de madeira:

$ V = a^3 = (20 \, \text{cm})^3 = 8000 \, \text{cm}^3 $

Agora, calculamos a massa do cubo de madeira:

\[ \begin{flalign*} & m = \mu_c \cdot V & \\ & m = 0,65 \, \text{g/cm}^3 \cdot 8000 \, \text{cm}^3 & \\ & m = 5200 \, \text{g} = 5,2 \, \text{kg} & \end{flalign*} \]

A força peso do cubo de madeira é:

$ P = m \cdot g = 5,2 \, \text{kg} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 = 52 \, \text{N} $

Para o cubo flutuar, a força de empuxo deve ser igual à força peso. A força de empuxo é dada por:

$ E =\mu_{\text{água}} \cdot V_{\text{imerso}} \cdot g $

Como $E = P$, temos:

$\mu_{\text{água}} \cdot V_{\text{imerso}} \cdot g = P $

$ 1,0 \, \text{g/cm}^3 \cdot V_{\text{imerso}} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 = 52 \, \text{N} $

Convertendo $1,0 \, \text{g/cm}^3$ para $1,0 \, \text{kg/L}$ ou $1000 \, \text{kg/m}^3$:

$ 1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot V_{\text{imerso}} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 = 52 \, \text{N} $

\[ \begin{flalign*} & V_{\text{imerso}} = \frac{52 \, \text{N}}{1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 10 \, \text{m/s}^2} & \\ & V_{\text{imerso}} = 0,0052 \, \text{m}^3 & \\ & V_{\text{imerso}} = 5200 \, \text{cm}^3 & \end{flalign*} \]

O volume imerso do cubo de madeira é igual à altura imersa ($h$) vezes a área da base do cubo ($a^2$):

$ V_{\text{imerso}} = h \cdot a^2 $

Portanto:

$ h \cdot (20 \, \text{cm})^2 = 5200 \, \text{cm}^3 $

$ h \cdot 400 \, \text{cm}^2 = 5200 \, \text{cm}^3 $

$ h = \frac{5200 \, \text{cm}^3}{400 \, \text{cm}^2} = 13 \, \text{cm} $

Portanto, a altura do cubo que permanece dentro da água é $13 \, \text{cm}$.

PROBLEMAS RESOLVIDOS

1. Um corpo está flutuando em um líquido. Nesse caso

(A) o empuxo é menor que o peso.

(B) o empuxo é maior que o peso.

(D) a densidade do corpo é maior que a do líquido.

(E) a densidade do corpo é igual a do líquido

2.Uma esfera maciça e homogênea, de massa específica igual a $ 2,4 \, \text{g/cm}^3 $, flutua mantendo 20% do seu volume acima da superfície livre de um líquido. A massa específica desse líquido, em $ \text{g/cm}^3 $, é igual a:

(A) 4,8

(B) 3,2

(D) 1,6

(E) 1,2

3. Um ovo colocado num recipiente com água vai até o fundo, onde fica apoiado, conforme a figura . Adicionando-se sal em várias concentrações, ele assume as posições indicadas nas outras figuras B, C, D e E .

Um ovo colocado num recipiente com água

A situação que indica um empuxo menor do que o peso do ovo é a da figura

(A) A

(B) B

(D) D

(E) E

4.Uma esfera maciça e homogênea, de massa específica igual a 2,4 g/cm³, flutua mantendo 20% do seu volume acima da superfície livre de um líquido. A massa específica desse líquido, em g/cm³ , é igual a

(A) 1,9

(B) 2,0

(D) 3,0

(E) 12,0

5. No interior de um recipiente encontra-se um corpo em equilíbrio mergulhado num líquido de densidade 0,8 g/cm³, conforme a figura. Se este mesmo corpo for colocado em outro recipiente, contendo água ( densidade igual a 1g/cm³) podemos afirmar que

um corpo em equilíbrio mergulhado num líquido

(A) o corpo irá afundar e exercer força no fundo do recipiente.

(B) o corpo continuará em equilíbrio, totalmente submerso.

(D) o corpo flutuará com mais da metade do volume submerso.

(E) o corpo flutuará com menos da metade do volume submerso

Resoluções

Problema 1

Quando um corpo está flutuando em um líquido, a força de empuxo que atua sobre ele é igual ao seu peso. Isso ocorre porque o corpo desloca uma quantidade de líquido cujo peso é igual ao seu próprio peso. Portanto, a resposta correta é:

$ \boxed{\text{(C)} \, \text{ o empuxo é igual ao peso}} $

Problema 2

Vamos resolver este problema passo a passo.

Quando a pedra está submersa no líquido, a perda aparente de peso é igual ao empuxo ($E$) exercido pelo líquido. Sabemos que a perda aparente de peso é igual à metade do peso da pedra fora do líquido, ou seja:

$ E = \frac{P}{2} $

A força de empuxo $E$ é dada por:

$ E =\mu_{\text{líquido}} \cdot V \cdot g $

E o peso $P$ da pedra é dado por:

$ P =\mu_{\text{pedra}} \cdot V \cdot g $

Como $E = \frac{P}{2}$:

$\mu_{\text{líquido}} \cdot V \cdot g = \frac{1}{2} \left(\mu_{\text{pedra}} \cdot V \cdot g \right) $

Cancelando $V$ e $g$ de ambos os lados da equação, obtemos:

$\mu_{\text{líquido}} = \frac{\mu_{\text{pedra}}}{2} $

Substituindo os valores fornecidos:

$\mu_{\text{líquido}} = \frac{3,2 \, \text{g/cm}^3}{2} = 1,6 \, \text{g/cm}^3 $

Portanto, a resposta correta é:

$ \boxed{\text{(D)} \, 1,6 \, \text{g/cm}^3} $

Problema 3

Vamos analisar cada figura:

Figura A: O ovo está no fundo do recipiente. Aqui, o empuxo é menor do que o peso do ovo, pois o ovo não está flutuando.
Figura B: O ovo está flutuando parcialmente submerso, indicando que o empuxo é igual ao peso do ovo.
Figura C: O ovo está flutuando, mais submerso do que em B, mas ainda assim, o empuxo é igual ao peso do ovo.
Figura D: O ovo está flutuando mais próximo da superfície, indicando que o empuxo é igual ao peso do ovo.
Figura E: O ovo está completamente submerso, mas não encostando no fundo, indicando que o empuxo é igual ao peso do ovo.

Portanto, a situação que indica um empuxo menor do que o peso do ovo é:

$ \boxed{\text{A}} $

Problema 4

Princípio de Arquimedes: Para um corpo flutuante, a força de empuxo é igual ao peso do corpo.

Força de Empuxo ($ E $):

$ E =\mu_{\text{líquido}} \cdot V_{\text{imerso}} \cdot g $

Onde:

$\mu_{\text{líquido}} $ é a massa específica do líquido.
$ V_{\text{imerso}} $ é o volume da esfera submerso no líquido.
$ g $ é a aceleração da gravidade.

Peso da Esfera ($ P $):

$ P =\mu_{\text{esfera}} \cdot V_{\text{esfera}} \cdot g $

Onde:

$\mu_{\text{esfera}} = 2,4 \, \text{g/cm}^3 $ (massa específica da esfera).
$ V_{\text{esfera}} $ é o volume total da esfera.

Equilíbrio: Como a esfera flutua, a força de empuxo é igual ao peso da esfera.

$ E = P $

Volume Imerso: Dado que a esfera mantém 20% do seu volume acima da superfície, 80% do seu volume está submerso.

$ V_{\text{imerso}} = 0,8 \cdot V_{\text{esfera}} $

Igualando as forças:

$\mu_{\text{líquido}} \cdot (0,8 \cdot V_{\text{esfera}}) \cdot g =\mu_{\text{esfera}} \cdot V_{\text{esfera}} \cdot g $

Simplificação:
Cancelando $ V_{\text{esfera}} $ e $ g $ de ambos os lados da equação:

$\mu_{\text{líquido}} \cdot 0,8 = 2,4 $

Encontrando $\mu_{\text{líquido}}$:

$\mu_{\text{líquido}} = \frac{2,4}{0,8} $

$\mu_{\text{líquido}} = 3,0 \, \text{g/cm}^3 $

Portanto, a massa específica do líquido é:

$ \boxed{(D)3,0 \, \text{g/cm}^3} $

Problema 5

Densidade e Empuxo:

Densidade do Líquido Original: $\mu_{\text{original}} = 0,8 \, \text{g/cm}^3 $

Densidade da Água: $\mu_{\text{água}} = 1,0 \, \text{g/cm}^3 $

Situação Inicial

O corpo está em equilíbrio no líquido de densidade $0,8 \, \text{g/cm}^3$, ou seja, o empuxo é igual ao peso do corpo.

$ E_{\text{original}} = P $

Como o corpo está em equilíbrio, sabemos que a densidade do corpo ($\mu_{\text{corpo}} $) deve ser igual à densidade do líquido ($0,8 \, \text{g/cm}^3$).

Situação na Água

Quando o corpo é colocado em água ($\mu_{\text{água}} = 1,0 \, \text{g/cm}^3$), o empuxo é dado por:

$ E_{\text{água}} =\mu_{\text{água}} \cdot V_{\text{imerso}} \cdot g $

Como a densidade da água é maior, o empuxo exercido pela água será maior do que o empuxo exercido pelo líquido original, para o mesmo volume submerso. Portanto, para que o corpo flutue em equilíbrio na água, ele deslocará menos volume de água do que no líquido original.

Isso significa que:

O corpo não afundará e exercerá força no fundo do recipiente, pois a densidade da água é maior que a densidade do corpo.
O corpo não ficará totalmente submerso, pois o empuxo da água é suficiente para sustentá-lo com parte do volume acima da superfície.
O corpo flutuará na água.

Para determinar se o corpo flutuará com mais ou menos da metade do volume submerso, comparamos as densidades. Como a densidade da água ($1,0 \, \text{g/cm}^3$) é maior que a densidade do corpo ($0,8 \, \text{g/cm}^3$), o corpo deslocará um volume de água correspondente a 80% do seu volume total, para que o empuxo iguale ao peso do corpo.

Portanto, a resposta correta é:

$ \text{(D)} $ o corpo flutuará com mais da metade do volume submerso.