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HIDROSTÁTICA

Princípio de Arquimedes (EMPUXO)

Contam os livros que o sábio grego Arquimedes (282-212 AC) descobriu, enquanto tomava banho, que um corpo imerso na água se torna mais leve devido a uma força exercida pelo líquido sobre o corpo, vertical e para cima, que alivia o peso do corpo. Essa força, do líquido sobre o corpo, é denominada empuxo (\(E\)).

Portanto, num corpo que se encontra imerso em um líquido, agem duas forças: a força peso (\(P\)), devida à interação com o campo gravitacional terrestre, e a força de empuxo (\(E\)), devida à sua interação com o líquido.

Arquimedes

Arquimedes (282-212 AC). Inventor e matemático grego.

Quando um corpo está totalmente imerso em um líquido, podemos ter as seguintes condições:

  • Se ele permanece parado no ponto onde foi colocado, a intensidade da força de empuxo é igual à intensidade da força peso
    (\(E = P\)).
  • Se ele afundar, a intensidade da força de empuxo é menor do que a intensidade da força peso
    (\(E < P\)).
  • Se ele for levado para a superfície, a intensidade da força de empuxo é maior do que a intensidade da força peso
    (\(E > P\)).

Para saber qual das três situações irá ocorrer, devemos enunciar o princípio de Arquimedes:

Todo corpo mergulhado num fluido (líquido ou gás) sofre, por parte do fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.

Seja \(V_f\) o volume de fluido deslocado pelo corpo. Então a massa do fluido deslocado é dada por:

\( m_f = \rho_f V_f \)

A intensidade do empuxo é igual à do peso dessa massa deslocada:

\( E = m_f g = \rho_f V_f g \)

Para corpos totalmente imersos, o volume de fluido deslocado é igual ao próprio volume do corpo. Neste caso, a intensidade do peso do corpo e do empuxo são dadas por:

\( P = \rho_c V_c g \quad \text{e} \quad E = \rho_f V_c g \)

Comparando-se as duas expressões observamos que:

  • Se \(\rho_c > \rho_f\), o corpo desce em movimento acelerado
    (\(F_R = P - E\)).
  • Se \(\rho_c < \rho_f\), o corpo sobe em movimento acelerado
    (\(F_R = E - P\)).
  • Se \(\rho_c = \rho_f\), o corpo encontra-se em equilíbrio.

Quando um corpo mais denso que um líquido é totalmente imerso nesse líquido, observamos que o valor do seu peso, dentro desse líquido, é aparentemente menor do que no ar. A diferença entre o valor do peso real e do peso aparente corresponde ao empuxo exercido pelo líquido:

\( P_{\text{aparente}} = P_{\text{real}} - E \)


Exemplo:

Um objeto com massa de 10 kg e volume de 0,002 m3 é colocado totalmente dentro da água (\((\rho=1 \text{kg/L})\).

 
  1. Qual é o valor do peso do objeto?
  2. Qual é a intensidade da força de empuxo que a água exerce no objeto?
  3. Qual o valor do peso aparente do objeto?
  4. Desprezando o atrito com a água, determine a aceleração do objeto.

(Use \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \) .)

Resolução

  • Dados:
  • Massa do objeto (\(m\)): 10 kg
  • Volume do objeto (\(V\)): 0,002 m³
  • Densidade da água (\(\rho\)): 1 kg/L = 1000 kg/m³
  • Aceleração da gravidade (\(g\)): 10 m/s²

 

Item a)

O valor do peso do objeto é dado por:

\( P = m \cdot g \)

Substituindo os valores:

\( P = 10 \, \text{kg} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 \)

\( P = 100 \, \text{N} \)

Portanto, o peso do objeto é 100 N.

Item b)

A intensidade da força de empuxo que a água exerce no objeto é dada por:

\( E = \rho \cdot V \cdot g \)

Substituindo os valores:

\( E = 1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 0,002 \, \text{m}^3 \cdot 10 \, \text{m/s}^2 \)

\( E = 20 \, \text{N} \)

Portanto, a intensidade da força de empuxo é 20 N.

Item c)

O valor do peso aparente do objeto é dado por:

\( P_{\text{aparente}} = P - E \)

Substituindo os valores:

\( P_{\text{aparente}} = 100 \, \text{N} - 20 \, \text{N} \)

\( P_{\text{aparente}} = 80 \, \text{N} \)

Portanto, o peso aparente do objeto é 80 N.

Item d)

Para determinar a aceleração do objeto, usamos a segunda lei de Newton:

\( F_{\text{resultante}} = m \cdot a \)

A força resultante é a diferença entre o peso do objeto e a força de empuxo:

\( F_{\text{resultante}} = P - E \)

Substituindo os valores:

\( F_{\text{resultante}} = 100 \, \text{N} - 20 \, \text{N} \)

\( F_{\text{resultante}} = 80 \, \text{N} \)

Agora, podemos determinar a aceleração:

\( a = \frac{F_{\text{resultante}}}{m} \)

Substituindo os valores:

\( a = \frac{80 \, \text{N}}{10 \, \text{kg}} \)

\( a = 8 \, \text{m/s}^2 \)

Portanto, a aceleração do objeto é 8 m/s².


Flutuação

Princípio de Arquimedes (Empuxo)

Segundo os registros históricos, o sábio grego Arquimedes (282-212 AC) fez uma descoberta enquanto tomava banho: um corpo imerso na água aparenta ser mais leve devido a uma força exercida pelo líquido sobre o corpo, vertical e para cima, que alivia o peso do corpo. Essa força, do líquido sobre o corpo, é denominada empuxo (\(E\)).

Assim, em um corpo que se encontra imerso em um líquido, agem duas forças: a força peso (\(P\)), resultante da interação com o campo gravitacional terrestre, e a força de empuxo (\(E\)), causada pela interação com o líquido.

Quando um corpo está totalmente imerso em um líquido, podemos ter as seguintes condições:

  1. Se ele permanece parado no ponto onde foi colocado, a intensidade da força de empuxo é igual à intensidade da força peso (\(E = P\)).
  2. Se ele afundar, a intensidade da força de empuxo é menor do que a intensidade da força peso (\(E < P\)).
  3. Se ele for levado para a superfície, a intensidade da força de empuxo é maior do que a intensidade da força peso (\(E > P\)).

Para determinar qual das três situações irá ocorrer, podemos enunciar o princípio de Arquimedes:

Todo corpo mergulhado em um fluido (líquido ou gás) sofre, por parte do fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.

Seja \(V_f\) o volume de fluido deslocado pelo corpo. Então a massa do fluido deslocado é dada por:

\( m_f = \rho_f V_f \)

A intensidade do empuxo é igual ao peso dessa massa deslocada:

\( E = m_f g = \rho_f V_f g \)

Para corpos totalmente imersos, o volume de fluido deslocado é igual ao próprio volume do corpo. Nesse caso, a intensidade do peso do corpo e do empuxo são dadas por:

\( P = \rho_c V_c g \quad \text{e} \quad E = \rho_f V_c g \)

Comparando-se as duas expressões, observamos que:

  • Se \( \rho_c > \rho_f \), o corpo desce em movimento acelerado (\( F_R = P - E \)).
  • Se \( \rho_c < \rho_f \), o corpo sobe em movimento acelerado (\( F_R = E - P \)).
  • Se \( \rho_c = \rho_f \), o corpo encontra-se em equilíbrio.

Quando um corpo mais denso que um líquido é totalmente imerso nesse líquido, observamos que o valor do seu peso, dentro desse líquido, é aparentemente menor do que no ar. A diferença entre o valor do peso real e do peso aparente corresponde ao empuxo exercido pelo líquido:

\( P_{\text{aparente}} = P_{\text{real}} - E \)


Para um corpo flutuando em um líquido, temos as condições a seguir.

1) Ele encontra-se em equilíbrio:

E = P

2) O volume de líquido que ele desloca é menor do que o seu volume:

Vdeslocado < Vcorpo

3) Sua densidade é menor do que a densidade do líquido:

dcorpo < dlíquido

4) O valor do peso aparente do corpo é nulo:

Paparente = P – E = O

A relação entre os volumes imerso e total do corpo é dada por:

E = P

dliquidoVimersog = dcorpoVcorpog


Exemplo: 

Um bloco de madeira, \( \rho_c = 0,65 \, \text{g/cm}^3 \), com 20 cm de aresta, flutua na água \( \rho_c = 1,0 \, \text{g/cm}^3 \). Determine a altura do cubo que permanece dentro da água.

Resolução 

Para resolver esse problema, usamos o princípio de Arquimedes, que afirma que a força de empuxo é igual ao peso do volume de fluido deslocado pelo corpo.

Primeiro, calculamos o volume do cubo de madeira:

\( V = a^3 = (20 \, \text{cm})^3 = 8000 \, \text{cm}^3 \)

Agora, calculamos a massa do cubo de madeira:

\( m = \rho_c \cdot V = 0,65 \, \text{g/cm}^3 \cdot 8000 \, \text{cm}^3 = 5200 \, \text{g} = 5,2 \, \text{kg} \)

A força peso do cubo de madeira é:

\( P = m \cdot g = 5,2 \, \text{kg} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 = 52 \, \text{N} \)

Para o cubo flutuar, a força de empuxo deve ser igual à força peso. A força de empuxo é dada por:

\( E = \rho_{\text{água}} \cdot V_{\text{imerso}} \cdot g \)

Como \(E = P\), temos:

\( \rho_{\text{água}} \cdot V_{\text{imerso}} \cdot g = P \)

\( 1,0 \, \text{g/cm}^3 \cdot V_{\text{imerso}} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 = 52 \, \text{N} \)

Convertendo \(1,0 \, \text{g/cm}^3\) para \(1,0 \, \text{kg/L}\) ou \(1000 \, \text{kg/m}^3\):

\( 1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot V_{\text{imerso}} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 = 52 \, \text{N} \)

\( V_{\text{imerso}} = \frac{52 \, \text{N}}{1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 10 \, \text{m/s}^2} = 0,0052 \, \text{m}^3 = 5200 \, \text{cm}^3 \)

O volume imerso do cubo de madeira é igual à altura imersa (\(h\)) vezes a área da base do cubo (\(a^2\)):

\( V_{\text{imerso}} = h \cdot a^2 \)

Portanto:

\( h \cdot (20 \, \text{cm})^2 = 5200 \, \text{cm}^3 \)

\( h \cdot 400 \, \text{cm}^2 = 5200 \, \text{cm}^3 \)

\( h = \frac{5200 \, \text{cm}^3}{400 \, \text{cm}^2} = 13 \, \text{cm} \)

Portanto, a altura do cubo que permanece dentro da água é \(13 \, \text{cm}\).


Exercícios

1. Um corpo está flutuando em um líquido. Nesse caso

(A) o empuxo é menor que o peso.

(B) o empuxo é maior que o peso.

(C) o empuxo é igual ao peso.

(D) a densidade do corpo é maior que a do líquido.

(E) a densidade do corpo é igual a do líquido


2.Uma esfera maciça e homogênea, de massa específica igual a \( 2,4 \, \text{g/cm}^3 \), flutua mantendo 20% do seu volume acima da superfície livre de um líquido. A massa específica desse líquido, em \( \text{g/cm}^3 \), é igual a:

(A) 4,8

(B) 3,2

(C) 2,0

(D) 1,6

(E) 1,2


3. Um ovo colocado num recipiente com água vai até o fundo, onde fica apoiado, conforme a figura . Adicionando-se sal em várias concentrações, ele assume as posições indicadas nas outras figuras B, C, D e E .

   

A situação que indica um empuxo menor do que o peso do ovo é a da figura

(A) A

(B) B

(C) C

(D) D

(E) E


4.Uma esfera maciça e homogênea, de massa específica igual a 2,4 g/cm3, flutua mantendo 20% do seu volume acima da superfície livre de um líquido. A massa específica desse líquido, em g/cm3 , é igual a

(A) 1,9

(B) 2,0

(C) 2,5

(D) 3,0

(E) 12,0


5. interior de um recipiente encontra-se um corpo em equilíbrio mergulhado num líquido de densidade 0,8 g/cm3, conforme a figura. Se este mesmo corpo for colocado em outro recipiente, contendo água ( densidade igual a 1g/cm3) podemos afirmar que

 

   

(A) o corpo irá afundar e exercer força no fundo do recipiente.

(B) o corpo continuará em equilíbrio, totalmente submerso.

(C) o corpo não flutuará.

(D) o corpo flutuará com mais da metade do volume submerso.

(E) o corpo flutuará com menos da metade do volume submerso


Resoluções

Problema 1

Quando um corpo está flutuando em um líquido, a força de empuxo que atua sobre ele é igual ao seu peso. Isso ocorre porque o corpo desloca uma quantidade de líquido cujo peso é igual ao seu próprio peso. Portanto, a resposta correta é:

\( \boxed{\text{(C)} \, \text{ o empuxo é igual ao peso}} \)

 

Problema 2

Vamos resolver este problema passo a passo.

Quando a pedra está submersa no líquido, a perda aparente de peso é igual ao empuxo (\(E\)) exercido pelo líquido. Sabemos que a perda aparente de peso é igual à metade do peso da pedra fora do líquido, ou seja:

\( E = \frac{P}{2} \)

A força de empuxo \(E\) é dada por:

\( E = \rho_{\text{líquido}} \cdot V \cdot g \)

E o peso \(P\) da pedra é dado por:

\( P = \rho_{\text{pedra}} \cdot V \cdot g \)

Como \(E = \frac{P}{2}\):

\( \rho_{\text{líquido}} \cdot V \cdot g = \frac{1}{2} \left( \rho_{\text{pedra}} \cdot V \cdot g \right) \)

Cancelando \(V\) e \(g\) de ambos os lados da equação, obtemos:

\( \rho_{\text{líquido}} = \frac{\rho_{\text{pedra}}}{2} \)

Substituindo os valores fornecidos:

\( \rho_{\text{líquido}} = \frac{3,2 \, \text{g/cm}^3}{2} = 1,6 \, \text{g/cm}^3 \)

Portanto, a resposta correta é:

\( \boxed{\text{(D)} \, 1,6 \, \text{g/cm}^3} \)

 

Problema 3

Vamos analisar cada figura:

  • Figura A: O ovo está no fundo do recipiente. Aqui, o empuxo é menor do que o peso do ovo, pois o ovo não está flutuando.
  • Figura B: O ovo está flutuando parcialmente submerso, indicando que o empuxo é igual ao peso do ovo.
  • Figura C: O ovo está flutuando, mais submerso do que em B, mas ainda assim, o empuxo é igual ao peso do ovo.
  • Figura D: O ovo está flutuando mais próximo da superfície, indicando que o empuxo é igual ao peso do ovo.
  • Figura E: O ovo está completamente submerso, mas não encostando no fundo, indicando que o empuxo é igual ao peso do ovo.

 

Portanto, a situação que indica um empuxo menor do que o peso do ovo é:

\( \boxed{\text{A}} \)

 

Problema 4

Princípio de Arquimedes: Para um corpo flutuante, a força de empuxo é igual ao peso do corpo.

Força de Empuxo (\( E \)):

\( E = \rho_{\text{líquido}} \cdot V_{\text{imerso}} \cdot g \)

Onde:

  • \( \rho_{\text{líquido}} \) é a massa específica do líquido.
  • \( V_{\text{imerso}} \) é o volume da esfera submerso no líquido.
  • \( g \) é a aceleração da gravidade.

 

Peso da Esfera (\( P \)):

\( P = \rho_{\text{esfera}} \cdot V_{\text{esfera}} \cdot g \)

Onde:

  • \( \rho_{\text{esfera}} = 2,4 \, \text{g/cm}^3 \) (massa específica da esfera).
  • \( V_{\text{esfera}} \) é o volume total da esfera.

 

Equilíbrio: Como a esfera flutua, a força de empuxo é igual ao peso da esfera.

\( E = P \)

 

Volume Imerso: Dado que a esfera mantém 20% do seu volume acima da superfície, 80% do seu volume está submerso.

\( V_{\text{imerso}} = 0,8 \cdot V_{\text{esfera}} \)

 

Igualando as forças:

\( \rho_{\text{líquido}} \cdot (0,8 \cdot V_{\text{esfera}}) \cdot g = \rho_{\text{esfera}} \cdot V_{\text{esfera}} \cdot g \)

 

Simplificação: Cancelando \( V_{\text{esfera}} \) e \( g \) de ambos os lados da equação:

\( \rho_{\text{líquido}} \cdot 0,8 = 2,4 \)

 

Encontrando \(\rho_{\text{líquido}}\):

\( \rho_{\text{líquido}} = \frac{2,4}{0,8} \)

\( \rho_{\text{líquido}} = 3,0 \, \text{g/cm}^3 \)

Portanto, a massa específica do líquido é:

\( \boxed{(D)3,0 \, \text{g/cm}^3} \)

 

Problema 5

Densidade e Empuxo:

Densidade do Líquido Original: \( \rho_{\text{original}} = 0,8 \, \text{g/cm}^3 \)

Densidade da Água: \( \rho_{\text{água}} = 1,0 \, \text{g/cm}^3 \)

Situação Inicial

O corpo está em equilíbrio no líquido de densidade \(0,8 \, \text{g/cm}^3\), ou seja, o empuxo é igual ao peso do corpo.

\( E_{\text{original}} = P \)

Como o corpo está em equilíbrio, sabemos que a densidade do corpo (\( \rho_{\text{corpo}} \)) deve ser igual à densidade do líquido (\(0,8 \, \text{g/cm}^3\)).

Situação na Água

Quando o corpo é colocado em água (\( \rho_{\text{água}} = 1,0 \, \text{g/cm}^3\)), o empuxo é dado por:

\( E_{\text{água}} = \rho_{\text{água}} \cdot V_{\text{imerso}} \cdot g \)

Como a densidade da água é maior, o empuxo exercido pela água será maior do que o empuxo exercido pelo líquido original, para o mesmo volume submerso. Portanto, para que o corpo flutue em equilíbrio na água, ele deslocará menos volume de água do que no líquido original.

Isso significa que:

  • O corpo não afundará e exercerá força no fundo do recipiente, pois a densidade da água é maior que a densidade do corpo.
  • O corpo não ficará totalmente submerso, pois o empuxo da água é suficiente para sustentá-lo com parte do volume acima da superfície.
  • O corpo flutuará na água.

Para determinar se o corpo flutuará com mais ou menos da metade do volume submerso, comparamos as densidades. Como a densidade da água (\(1,0 \, \text{g/cm}^3\)) é maior que a densidade do corpo (\(0,8 \, \text{g/cm}^3\)), o corpo deslocará um volume de água correspondente a 80% do seu volume total, para que o empuxo iguale ao peso do corpo.

Portanto, a resposta correta é:

\( \text{(D)} \) o corpo flutuará com mais da metade do volume submerso.