O princípio físico que se aplica, por exemplo, aos elevadores hidráulicos dos postos de gasolina e ao sistema de freios e amortecedores, deve-se ao físico e matemático francês Blaise Pascal (1623-1662). Seu enunciado é:

O acréscimo de pressão produzido num líquido em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido.

Consideremos um líquido em equilíbrio colocado em um recipiente. Vamos supor que as pressões hidrostáticas nos pontos A e B (veja a figura) sejam, respectivamente, 0,2 e 0,5 atm.

Se através de um êmbolo comprimirmos o líquido, produzindo uma pressão de 0,1 atm, todos os pontos do líquido , sofrerão o mesmo acréscimo de pressão. Portanto os pontos A e B apresentarão pressões de 0,3 atm e 0,6 atm, respectivamente.

As prensas hidráulicas em geral, sistemas multiplicadores de força, são construídos com base no Princípio de Pascal. Uma aplicação importante é encontrada nos freios hidráulicos usados em automóveis, caminhões, etc. Quando se exerce uma força no pedal, produz-se uma pressão que é transmitida integralmente para as rodas através de um líquido, no caso, o óleo.

A figura seguinte esquematiza uma das aplicações práticas da prensa hidráulica: o elevador de automóveis usado nos postos de gasolina.

O ar comprimido, empurrando o óleo no tubo estreito, produz um acréscimo de pressão ( p), que pelo princípio de Pascal, se transmite integralmente para o tubo largo, onde se encontra o automóvel.

Sendo \( p_{1}=p_{2} \) e lembrando que \( p = \frac{F}{A} \) , escrevemos:

\[ \begin{flalign*} & \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} & \end{flalign*} \]

Como \( A_{2}>A_{1} \) , temos \( F_{2}>F_{1} \) , ou seja, a intensidade da força é diretamente proporcional à área do tubo. A prensa hidráulica é uma máquina que multiplica a força aplicada.

Por outro lado, admitindo-se que não existam perdas na máquina, o trabalho motor realizado pela força do ar comprimido é igual ao trabalho resistente realizado pelo peso do automóvel. Desse modo, os deslocamentos – o do automóvel e o do nível do óleo – são inversamente proporcionais às áreas dos tubos:

\( \tau_1=\tau_2 \text{ resulta em } F_1d_1=F_2d_2 \)

Mas na prensa hidráulica ocorre o seguinte:

\[ \begin{flalign*} & \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} & \end{flalign*} \]

Comparando-se com a expressão anterior, obtemos:

\[ \begin{flalign*} & \frac{d_2}{d_1} = \frac{A_1}{A_2} & \end{flalign*} \]

 

PROBLEMAS RESOLVIDOS

1. Na prensa hidráulica na figura , os diâmetros dos tubos 1 e 2 são , respectivamente, 4 cm e 20 cm. Sendo o peso do carro igual a 10 kN, determine:  

 

a) a força que deve ser aplicada no tubo 1 para equlibrar o carro;

b) o deslocamento do nível de óleo no tubo 1, quando o carro sobe 20 cm.  

2. Deseja-se construir uma prensa hidráulica que permita exercer no êmbolo maior uma força de 5,0 x 10³ N, quando se aplica uma força de 5,0 x 10 N no êmbolo menor, cuja área é de 2,0 x 10 cm² . Nesse caso a área do êmbolo maior deverá ser de

1. \( 2,0 \times 10 \, \text{cm}^2 \)
2. \( 2,0 \times 10^2 \, \text{cm}^2 \)
3. \( 2,0 \times 10^3 \, \text{cm}^2 \)
4. \( 2,0 \times 10^4 \, \text{cm}^2 \)
5. \( 2,0 \times 10^5 \, \text{cm}^2 \)

3. Numa prensa hidráulica, o êmbolo menor tem área de 10cm² enquanto o êmbolo maior tem sua área de 100 cm². Quando uma força de 5N é aplicada no êmbolo menor , o êmbolo maior move-se. Pode-se concluir que

1. A força exercida no êmbolo maior é de 500 N.
2. O êmbolo maior desloca-se mais que o êmbolo menor.
3. Os dois êmbolos realizam o mesmo trabalho.
4. O êmbolo maior realiza um trabalho maior que o êmbolo menor.
5. O êmbolo menor realiza um trabalho maior que o êmbolo maior.

4. Na figura, os êmbolos A e B possuem áreas de 80 cm² e 20 cm², respectivamente. Despreze os peos dos êmbolos e considere o sistema em equilíbrio. Sendo a massa do corpo colocado em A igual a 100 kg, determine:

 

 

a) a massa do corpo colocado em B;

b) qual será o deslocamento do corpo em A se deslocarmos o corpo em B 20 cm para baixo.

5. As áreas dos pistões do dispositivo hidráulico da figura mantêm a relação 50:2. Verifica-se que um peso P, colocado sobre o pistão maior é equilibrado por uma força de 30 N no pistão menor, sem que o nível de fluido nas duas colunas se altere. De acordo com o princípio de Pascal, o peso P vale:

1. 20 N
2. 30 N
3. 60 N
4. 500 N
5. 750 N

RESOLUÇÕES

1. Na prensa hidráulica, os diâmetros dos tubos são: $ d_1 = 4\,\text{cm} $ e $ d_2 = 20\,\text{cm} $. O peso do carro é $ F_2 = 10\,\text{kN} = 10\,000\,\text{N} $.

1. Cálculo das áreas dos êmbolos

A área de um círculo é:

$ A = \dfrac{\pi d^2}{4} $

Para o êmbolo 1:

$ A_1 = \dfrac{\pi (4)^2}{4} = 4\pi\ \text{cm}^2 $

Para o êmbolo 2:

$ A_2 = \dfrac{\pi (20)^2}{4} = 100\pi\ \text{cm}^2 $

Razão entre as áreas:

$ \dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{100\pi}{4\pi} = 25 $

2. Força necessária no êmbolo 1

Pelo princípio de Pascal:

$ \dfrac{F_1}{A_1} = \dfrac{F_2}{A_2} $

Isolando $F_1$:

$ F_1 = F_2 \cdot \dfrac{A_1}{A_2} $

Substituindo:

$ F_1 = 10\,000 \cdot \dfrac{1}{25} = 400\ \text{N} $

Resposta (a): A força necessária no tubo 1 é $ F_1 = 400\ \text{N} $.

3. Deslocamento do nível de óleo no tubo 1

O carro sobe $ \Delta h_2 = 20\,\text{cm} $. Como o fluido é incompressível:

$ A_1 \Delta h_1 = A_2 \Delta h_2 $

Isolando $\Delta h_1$:

$ \Delta h_1 = \dfrac{A_2}{A_1} \Delta h_2 = 25 \cdot 20 = 500\,\text{cm} $

Convertendo:

$ 500\,\text{cm} = 5\,\text{m} $

Resposta (b): O nível de óleo no tubo 1 deve descer $ \Delta h_1 = 5\,\text{m} $.