Como obter uma estimativa estatística da dispersão das notas da prova objetiva a partir das médias e dos desvios-padrão de Português com Redação e da Redação.
Nas estatísticas do vestibular da UFRGS, podemos encontrar informações sobre a média e o desvio-padrão das notas de determinadas provas. Em algumas situações, entretanto, queremos conhecer uma informação que não é apresentada diretamente: o desvio-padrão de uma parte da prova.
É exatamente o que acontece quando consideramos a prova de Português com Redação, formada pela prova objetiva de Português e pela Redação.
A partir das médias conhecidas, é possível determinar diretamente a média da prova objetiva. Porém, quando passamos dos valores médios para os desvios-padrão, a matemática fica mais interessante — e é preciso tomar cuidado para não cometer um erro bastante comum.
Consideremos os seguintes valores:
| Componente | Média | Desvio-padrão |
|---|---|---|
| Português + Redação | 19,1267 | 3,7546 |
| Redação | 9,6599 | 2,3573 |
| Português objetiva | ? | ? |
A prova de Português com Redação é composta pelas duas parcelas. Assim, podemos representar a nota total por
em que \(P\) representa a nota de Português com Redação, \(O\) representa a nota da prova objetiva de Português e \(R\) representa a nota da Redação.
Para as médias, a operação é realmente simples. Como a média de uma soma é igual à soma das médias, temos:
Portanto:
Substituindo os valores conhecidos:
A média estimada da prova objetiva de Português é 9,4668.
Até aqui não há qualquer dificuldade estatística. O problema começa quando queremos fazer a mesma coisa com os desvios-padrão.
Um raciocínio intuitivo, mas incorreto, seria fazer:
e concluir que \(1,3973\) seria o desvio-padrão da prova objetiva.
Isso não é válido.
O motivo é fundamental: o desvio-padrão não se comporta como a média quando somamos duas variáveis. Para trabalhar com desvios-padrão, precisamos trabalhar primeiro com as variâncias.
Para duas variáveis aleatórias \(O\) e \(R\), a variância da soma é:
Como o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, podemos escrever:
O termo que torna o problema mais interessante é a covariância.
Ela mede como as duas notas variam conjuntamente. Se candidatos que obtêm notas altas na prova objetiva tendem também a obter notas altas na redação, existe uma covariância positiva.
Se, por outro lado, notas altas em uma parte estiverem associadas a notas baixas na outra, a covariância será negativa.
A covariância pode ser expressa por meio do coeficiente de correlação \(r\):
Assim:
Como queremos determinar \(\sigma_O\), podemos reorganizar essa expressão como uma equação quadrática:
A solução positiva dessa equação fornece:
Não é possível determinar exatamente o desvio-padrão da prova objetiva apenas com as médias e os dois desvios-padrão conhecidos.
É necessário conhecer também a correlação — ou, equivalentemente, a covariância — entre a nota da prova objetiva e a nota da redação.
Essa é uma conclusão estatística importante. Não se trata de falta de uma técnica de cálculo: simplesmente existe uma informação que não está contida nos três valores fornecidos.
Diferentes correlações entre objetiva e redação podem produzir exatamente a mesma média e o mesmo desvio-padrão para Português com Redação.
Se não tivermos nenhuma informação sobre a correlação entre objetiva e redação, uma hipótese inicial possível é considerar que as duas notas sejam estatisticamente independentes.
Nesse caso:
e a expressão da variância fica:
Isolando o desvio-padrão da objetiva:
Substituindo os valores da UFRGS:
O desvio-padrão da prova objetiva de Português seria aproximadamente 2,92.
Esse é provavelmente o ponto mais importante de toda a análise.
É perfeitamente razoável imaginar que exista alguma correlação positiva entre o desempenho na prova objetiva de Português e o desempenho na Redação. Afinal, conhecimentos relacionados à leitura, interpretação, domínio da língua e capacidade de argumentação podem influenciar as duas partes da avaliação.
Se a correlação for positiva, o resultado muda significativamente.
| Correlação \(r\) | DP estimado da objetiva |
|---|---|
| −0,50 | ≈ 4,77 |
| −0,25 | ≈ 3,87 |
| 0,00 | ≈ 2,92 |
| +0,25 | ≈ 2,16 |
| +0,40 | ≈ 1,75 |
| +0,50 | ≈ 1,51 |
| +0,60 | ≈ 1,23 |
A tabela mostra claramente por que a correlação é tão importante. Para uma mesma média e um mesmo desvio-padrão de Português com Redação, diferentes relações estatísticas entre objetiva e redação produzem diferentes desvios-padrão para a prova objetiva.
Mesmo sem conhecer a correlação, podemos estabelecer limites matemáticos para o desvio-padrão da prova objetiva.
Como o coeficiente de correlação está limitado ao intervalo \(-1\leq r\leq1\), temos:
Portanto:
Esses são os limites matemáticos extremos. Entretanto, eles correspondem a situações de correlação perfeita, portanto não devem ser interpretados como uma estimativa realista sem evidências de que exista uma relação tão extrema entre as duas notas.
A partir dos dados disponíveis, podemos determinar com segurança a média da prova objetiva:
O desvio-padrão, entretanto, não pode ser obtido simplesmente subtraindo os dois desvios-padrão. Para isso, é necessário levar em consideração a covariância entre a nota da prova objetiva e a nota da redação.
Na ausência dessa informação, uma hipótese estatística simples é assumir covariância nula. Nesse caso, obtemos:
Portanto, 2,92 pode ser utilizado como uma estimativa inicial do desvio-padrão da prova objetiva, desde que fique claro que esse valor depende da hipótese de independência entre objetiva e redação.
Se for possível obter dados individuais dos candidatos, entretanto, o cenário muda completamente: bastaria calcular diretamente a correlação entre as duas partes da prova. Com essa informação, o desvio-padrão da objetiva poderia ser estimado de maneira muito mais precisa.
Em resumo:
A média que interessa para o cálculo do desempenho final não deve ser confundida com a média preliminar divulgada pela UFRGS.
A UFRGS divulga uma média preliminar para as provas objetivas. Entretanto, essa média é calculada considerando todos os candidatos que realizaram a prova. Ela inclui, portanto, também candidatos que posteriormente são eliminados pelos critérios de corte.
Para o cálculo final do desempenho e, consequentemente, do argumento utilizado na classificação, a situação é diferente. Depois de aplicados os critérios de eliminação, passam a ser considerados apenas os candidatos que não foram eliminados.
Isso produz uma população estatisticamente diferente da população original de candidatos. Como os candidatos eliminados tendem a apresentar desempenho inferior, sua retirada modifica não apenas a média, mas também a distribuição das notas e seus respectivos desvios-padrão.
Assim, a média preliminar da prova objetiva, embora seja uma informação útil, não é necessariamente a média adequada para representar o grupo utilizado no cálculo final do desempenho.
A média que buscamos estimar neste estudo tem justamente outra finalidade: fornecer ao candidato uma aproximação da média da prova objetiva dentro do grupo de candidatos que permanece após os critérios de corte.
Esse detalhe é particularmente importante porque o grupo de candidatos não eliminados possui, em princípio, um nível de desempenho superior ao conjunto original de participantes. Portanto, é esperado que sua distribuição de notas seja diferente da distribuição observada quando todos os candidatos são considerados.
Em outras palavras:
a média preliminar responde à pergunta:
enquanto a média utilizada no cálculo final precisa responder a uma pergunta diferente:
É justamente por isso que a estimativa da média e do desvio-padrão da prova objetiva a partir dos dados de Português com Redação e da Redação pode ser útil para análises e prognósticos do vestibular.
Naturalmente, trata-se de uma estimativa estatística e não de uma substituição dos dados oficiais. Quanto mais informações forem disponibilizadas sobre a população de candidatos não eliminados, mais precisa poderá ser a reconstrução dessa distribuição.