RELATIVIDADE

INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE RESTRITA

7. A Relação Entre a Massa e a Energia

Passemos agora a uma importante consequencia da teoria da relatividade, que desempenha um papel essencial na física nuclear e na física das partículas elementares. Falaremos sobre a relação universal entre a energia e a massa.

A relação entre a energia e a massa resulta da lei da conservação da energia e do fato de a massa do corpo depender da velocidade do movimento. Isto pode ser observado no seguinte exemplo simples. Quando se aquece um gás num recipiente é-lhe transmitida uma determinada energia. A velocidade do movimento calorífico caótico das moléculas depende da temperatura e aumenta com o aquecimento do gás. O aumento da velocidade do movimento das moléculas, de acordo com a equação (6) , significa o aumento da massa de todas as moléculas. Consequentemente, a massa do gás no recipiente aumenta quando aumenta a sua energia interna. Entre a massa do gás e a sua energia existe uma relação.

A relação entre a massa e a energia no caso de um movimento lento.

É mais simples estabelecer a relação entre a massa e a energia no exemplo do movimento de um corpo com velocidade \( \mathtt {v} \) , bastante menor do que a velocidade da luz \( \mathtt {c} \) . Para isso, deduzamos a expressão aproximada da dependência da massa em relação à velocidade quando \( \mathtt {v \ll c} \). O denominador na equação (6) escreve-se sob a forma:

$$\mathtt {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\sqrt{ \biggl (1-\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\biggr)-\frac{1}{4}\frac{v^4}{c^4}}} $$

Desprezando a grandeza

$$\mathtt {\frac{1}{4}\frac{v^4}{c^4}} $$

obtemos:

$$\mathtt {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \approx \biggl (1-\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \biggr)} $$

Por isso:

$$\mathtt{m \approx \frac{m_o}{\biggl (1-\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \biggr)}}$$

Multiplicando o numerador e o denominador por

$$\mathtt{\biggl (1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \biggr)}$$

e desprezando de novo o membro

$$\mathtt{\biggl (\frac{1}{4}\frac{v^4}{c^4} \biggr)},$$

obtemos a seguinte equação aproximada:

$$\mathtt{m \approx m_o + \frac{1}{2}\cdot m_{o}v^{2} \cdot \frac{1}{c^2}}$$

Daqui resulta que a variação da massa do corpo

$$\mathtt{\Delta m = m - m_o},$$

quando aumenta a sua energia cinética em

$$\mathtt{\Delta E_{c} = \frac {1}{2} \cdot m_o},$$

exprime-se assim

$$\mathtt {\Delta m = \frac {\Delta E_{c}}{c^2}}$$

Isto significa que o incremento da massa do corpo quando aumenta a sua velocidade, é igual à energia cinética que lhe é transmitida, dividida pelo quadrado da velocidade da luz.

A equação de Einstein

Na teoria da relatividade, este resultado é amplamente generalizado. Com o auxílio desta teoria, Einstein estabeleceu a relação geral entre a energia e a massa, que é dada por uma equação muito simples:

$$\mathtt{E=m{c}^{2}=\frac {m_{o}c^{2}}{\sqrt{1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}}~~~~~(9)}$$

A energia de um corpo ou de um sistema de corpos é igual à massa multiplicada pelo quadrado da velocidade da luz. Em toda a Física só se encontram duas ou três equaçãos universais tão simples como esta que relacionam as grandezas físicas fundamentais.

Se a energia do sistema varia, então varia também a sua massa:

$$\mathtt {\Delta m = \frac {\Delta E}{c^2}~~~~~(10)}$$

Visto que o coeficiente \( \mathtt {\frac {1}{c^2}} \) é muito pequeno, para que se note a variação da massa é necessário que haja grandes mudanças de energia. Quando se dão reações químicas ou quando se aquece um corpo em condições habituais, a variação da energia é tão pequena que variação correspondente da massa não pode ser verificada experimentalmente. Uma chaleira quente tem a massa maior do que uma fria; mas nem com o auxílio de balanças muito sensíveis seria possível medir a diferença. Só quando se transforma o núcleo atômico e as partículas elementares é que a variação de energia é tão grande que a alteração da massa nessa altura já pode ser verificada.

Quando explode uma bomba de hidrogênio liberta-se uma grande quantidade de energia - certa de \( \mathtt {10^{17}J} \). Esta energia é superior à produção de energia elétrica em toda a Terra durante vários dias. A energia é transportada com a radiação. A radiação, além da energia, tem massa, que é aproximadamente igual a 0,1% da massa dos materiais iniciais.

Energia de repouso. Quando a velocidade do movimento de um corpo é reduzida \( \mathtt {(v \ll c)} \), então a equação (9) pode escrever-se sob a forma:

$$\mathtt {E \approx m_{o}c^{2}+ \frac {m_{o}v^{2}}{2}~~~~~(11)}$$

Neste caso, o segundo termo é a energia cinética habitual do corpo. Maior interesse desperta o primeiro membro : ele define a energia do corpo quando a velocidade é igual a zero - a chamada energia de repouso \( \mathtt {E_o} \) :

$$\mathtt {E_o=m_{o}c^{2}~~~~~(12)}$$

Este resultado merece atenção. Qualquer corpo, pelo simples fato de existir, tem uma energia que é proporcional à massa de repouso \( \mathtt {(m_o)} \).

Quando se transformam partículas elementares com massa de repouso diferente de zero, em partículas com \( \mathtt {m_o=0} \), a energia de repouso das primeiras é transmitida às segundas totalmente sob a forma de energia cinética.

Este fato é a demonstração experimental mais evidente da existência de energia de repouso.